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2.1.5 Das Papp-Integral

Erstellt ab Winter 2005 / 2006

Als ich so neulich mal wieder über die Welt nachsann, überlegte ich mir, ob es nicht möglich sei, ein Integral auch einfach ohne viel Mathematik zu ermitteln. Vielleicht sogar nur mit "Strippenstrolch-Zutaten":

  • Stück Pappe
  • Schere
  • PC oder Ähnliches (Blaupapier)
  • Taschenrechner

Aber zunächst einmal:

Was ist überhaupt ein Integral?

Nun, das ist nichts weiter als eine Summe über eine bestimmte Anzahl hinweg. Wenn ich also z.B. jeden Tag 12 Euro verdiene und auch jeden Tag 12 Euro aufsummiere, so kann ich mittels  der Integralrechnung die Summe meiner Verdienste für jeden Tag errechnen.

"So was Doofes, das kann doch jeder!", würde so mancher sagen, oder "das ist doch trivial".

Was aber, wenn ich jeden Tag einen anderen Betrag verdiene und die Höhe dieses Betrages von einer Funktion abhängig ist, beispielsweise SINUS(Wochentag)? Hä?

Da würde dann für die exakte Summe bis zu einem bestimmten Tage wirklich nur noch die Integralrechnung helfen, wenn man es etwas genauer haben wollte.

Aber wir wollen uns ja hier nicht mit Integralmathematik befassen, sondern eine einfache Methode betrachten, mit der man "ganz gewitzt" solche Integrale lösen kann.

Hierzu ein Beispiel:

Wir fahren in einem Auto mit immer unterschiedlicher Geschwindigkeit. Diese Geschwindigkeit wird auf einem Fahrtenschreiber aufgezeichnet (meinetwegen auch ein X-Y-Schreiber ...).
Dann könnten wir sagen, dass die Fahrzeit auf der X-Achse liegt und die Geschwindigkeit auf der Y-Achse:

Wenn wir nun aber zu jedem Zeitpunkt die gefahrene Strecke wissen wollen, so müssten wir ja rechnen: "Fahrzeit in h mal Geschwindigkeit in km/h" und erhielten das Ergebnis in Kilometern. Sozusagen kürzt sich die Zeit heraus.


Wenn wir also genau 50 km/h fahren und das eine Stunde lang, so erhalten wir 50 Kilometer Fahrweg.

Wir haben also praktisch die Fläche unter der Geraden errechnet, bzw zu jedem Zeitpunkt der Fahrt die gefahrenen Kilometer aufsummiert. So etwas nennt man dann integrieren.
Unser Beispiel ist noch recht einfach, weil es ein Rechteck ist.

Was aber, wenn die Geschwindigkeitskurve so aussieht wie die grüne oben?

Ja, dann hilft es nur noch , die Formel hervorzukramen oder einen kleinen Trick anzuwenden.

Wir wollen hier lieber den Trick anwenden.

Also, wir haben unsere "krumme Kurve" und wir wissen, dass der Flächeninhalt zwischen Abfahrt, Ankunft, Kurve und X-Achse unsere gefahrenen Kilometer darstellt:


Da wir in der Lage sind (per PC und so weiter), diese Kurve auf ein Stück Pappe zu übertragen, können wir uns nämlich nun auch mit dem ganz einfachen Dreisatz behelfen.

Und das geht so:

  • Wir übertragen die Kurve auf ein Stück Pappe.
  • Wir nehmen eine Schere und schneiden die Kurve aus, so dass sich unsere gesuchte Fläche schon einmal "in unserer Hand" befindet:

 


  • Wir schneiden aus demselben Stück Pappe ein Referenz-Stückchen heraus, sagen wir mal 5 mal 5 Flächeneinheiten, also 25  "km/h mal h":


Nun ist es uns ein Leichtes, mittels unserer Brief- oder Laborwaage diese beiden Pappteile zu wiegen. Wir erhalten einmal das "Referenzgewicht" der "25 Kilometer" und einmal das tatsächliche Gewicht unserer wirklich gefahrenen Kilometer, also der ausgeschnittenen "krummen Kurve".

Nun ist es ja so, dass wir ja nur einen "Referenz-Kilometer" brauchen. Also teilen wir das Gewicht des "25-er-Stückes" durch 25 und erhalten eine Gramm-Zahl für einen gefahrenen Kilometer. Das ist auch ganz gut, falls die benutzte Pappe ungleichmäßig produziert wurde.

Und nun kommt der unbedingt einfache Dreisatz:


Wie wir sehen, kürzt sich das Gewicht der Pappe heraus, und es bleiben die tatsächlich gefahrenen Kilometer übrig.

So kann man sehr viele Integrale mit Pappe und Schere lösen, ohne gleich einen Mathematiker einstellen zu müssen.

Wir werden also zum "Schnipp, dem Integrator"...

Vielen Dank fürs Zuhören,

 


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